Modular Group
释义 Definition
模群（modular group）：数学中的一个重要群，通常指由整数系数的线性分式变换组成、作用在复平面上半平面（upper half-plane）上的群；最常见的定义是
\[
PSL(2,\mathbb{Z}) = SL(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\},
\]
它在数论、模形式、椭圆曲线与双曲几何中非常核心。（在某些语境下也可能泛指“模运算相关的群”，但最常用的是上述特指。）
发音 Pronunciation (IPA)
/ˈmɑːdʒələr ɡruːp/
例句 Examples
The modular group is often written as \(PSL(2,\mathbb{Z})\).
模群通常记作 \(PSL(2,\mathbb{Z})\)。
The action of the modular group on the upper half-plane produces a rich tessellation that connects geometry with modular forms.
模群在上半平面上的作用会产生丰富的铺砌结构，把几何与模形式联系起来。
词源 Etymology
modular 来自 module（“模、模数/模块”），与“按某个模（modulus）进行的结构或运算”有关；在数学中 modular 常与“模形式（modular forms）/模函数（modular functions）”相关。group 来自“群”的一般含义，在近现代数学中专指满足封闭性、结合律、单位元与逆元等性质的代数结构。因此 modular group 字面上是“与模（modular）对象相关的群”，历史上逐渐固定为指 \(PSL(2,\mathbb{Z})\) 这一经典对象。
相关词 Related Words
- Modular
- Group
- Modulus
- Modular Form
- Modular Function
- SL(2,Z)
- PSL(2,Z)
- Upper Half-Plane
- Möbius Transformation
- Fundamental Domain
文学与著作中的用例 Literary Works
- Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic（《算术课程》）
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory（《数论中的模函数与狄利克雷级数》）
- Neal Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms（《椭圆曲线与模形式导论》）
- Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves（《椭圆曲线的算术》）